Convertere

Zadanie 4 — Rozwiązanie

Treść: Wszystkich liczb naturalnych, dodatnich n takich, że n jest liczbą mniejszą od 500 i √n jest liczbą naturalną, jest

Odpowiedzi: A) 21, B) 22, C) 23, D) 24

Krok 1: Zrozumienie polecenia

Szukamy liczb naturalnych dodatnich n, które spełniają dwa warunki:

n < 500 — liczba jest mniejsza od 500
√n jest liczbą naturalną — pierwiastek kwadratowy z n jest liczbą całkowitą (bez ułamka)

Krok 2: Kiedy √n jest liczbą naturalną?

√n jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy n jest kwadratem liczby naturalnej (tzw. kwadratem doskonałym).

Przykłady:

√1 = 1 → 1 = 1²
√4 = 2 → 4 = 2²
√9 = 3 → 9 = 3²
√16 = 4 → 16 = 4²

Krok 3: Znajdźmy wszystkie kwadraty doskonałe < 500

Zaczynamy od 1² i idziemy w górę, aż przekroczymy 500:

n	n²	√n²	√n² naturalne?	n² < 500?
1	1	1	✅	✅
2	4	2	✅	✅
3	9	3	✅	✅
4	16	4	✅	✅
5	25	5	✅	✅
6	36	6	✅	✅
7	49	7	✅	✅
8	64	8	✅	✅
9	81	9	✅	✅
10	100	10	✅	✅
11	121	11	✅	✅
12	144	12	✅	✅
13	169	13	✅	✅
14	196	14	✅	✅
15	225	15	✅	✅
16	256	16	✅	✅
17	289	17	✅	✅
18	324	18	✅	✅
19	361	19	✅	✅
20	400	20	✅	✅
21	441	21	✅	✅
22	484	22	✅	✅
23	529	23	✅	❌ (529 > 500)

Krok 4: Zliczenie

Kwadraty doskonałe mniejsze od 500 to:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400,
441, 484

Są to liczby: 1², 2², 3², ..., 22² — czyli od 1 do 22 włącznie.

Liczba takich liczb: 22

Krok 5: Wybór odpowiedzi

Opcja	Wartość	Poprawna?
A	21	❌ — to by było 1² do 21², ale 22²=484 < 500
B	22	✅
C	23	❌ — 23²=529 > 500, więc 23 nie mieści się w zakresie
D	24	❌ — 24²=576 > 500

Odpowiedź: B) 22

Weryfikacja

# Szybkie sprawdzenie w Pythonie
licznik = sum(1 for n in range(1, 500) if (n**0.5).is_integer())
print(licznik)  # Wynik: 22

Rozwiń aby zobaczyć kod weryfikacyjny

# Alternatywny, prostszy sposób:
# √n jest naturalne gdy n = k², gdzie k jest naturalne
# k² &lt; 500 → k &lt; √500 ≈ 22.36
# k ∈ {1, 2, 3, ..., 22}
# Liczba: 22

import math
k_max = int(math.isqrt(499))  # największe k, takie że k² &lt; 500
print(f&quot;k_max = {k_max}&quot;)  # 22
print(f&quot;Liczba rozwiązań: {k_max}&quot;)  # 22

Źródła (Pliki)

/root/convertere/reports/stachu-zad-4.md — niniejszy raport
/tmp/stachu-original.jpg — skan oryginalnego zadania
/tmp/stachu-enhanced.png — skan po poprawie kontrastu (OCR)

Źródła (Linki URL)

Obrazek zadania: media.convertere.pl